1 1=2（one plus one equals two），是初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)的數(shù)值計(jì)算等式。

數(shù)的出現(xiàn)

早在蒙昧?xí)r代，人們就在對(duì)獵物的儲(chǔ)藏與分配等活動(dòng)中，逐漸產(chǎn)生了數(shù)的感覺(jué)。當(dāng)一個(gè)原始人面對(duì)放在一起的3只羊、3個(gè)蘋(píng)果或3支箭時(shí)，他會(huì)朦朧地意識(shí)到其中有一種共性?？梢韵胂螅藭r(shí)會(huì)是多么地驚訝。但是，從這種原始的感覺(jué)到抽象的“數(shù)”的概念的形成，卻經(jīng)過(guò)了極其漫長(zhǎng)的時(shí)間。

一般認(rèn)為，自然數(shù)的概念的形成可能與火的使用一樣古老，至少有著30萬(wàn)年的歷史。我們無(wú)法考證，人類(lèi)究竟在什么時(shí)候發(fā)明了加法，因?yàn)槟菚r(shí)沒(méi)有足夠詳細(xì)的文獻(xiàn)記錄（也許文字也剛剛誕生）。但加法的出現(xiàn)無(wú)疑是為了在交換商品或戰(zhàn)俘時(shí)進(jìn)行運(yùn)算。至于乘法和除法，則必定是在加減法的基礎(chǔ)上搞出來(lái)的。而分?jǐn)?shù)應(yīng)該是出于分割物體的需要。

應(yīng)該說(shuō)，當(dāng)某個(gè)原始人第一個(gè)意識(shí)到1 1=2，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到兩個(gè)數(shù)相加得到另一個(gè)確定的數(shù)時(shí)，這一刻是人類(lèi)文明的偉大時(shí)刻，因?yàn)樗l(fā)現(xiàn)了一個(gè)非常重要的性質(zhì)——可加性。這個(gè)性質(zhì)及其推廣正是數(shù)學(xué)的全部根基，它甚至說(shuō)出數(shù)學(xué)為什么用途廣泛的同時(shí)，告訴我們數(shù)學(xué)的局限性。

人們知道，世界上存在三類(lèi)不同的事物。一類(lèi)是完全滿足可加性的量。比如質(zhì)量，容器里的氣體總質(zhì)量總是等于每個(gè)氣體分子質(zhì)量之和。對(duì)于這些量，1 1=2是完全成立的。

第二類(lèi)是僅僅部分滿足可加性的的量。比如溫度，如果把兩個(gè)容器的氣體合并在一起，則合并后氣體的溫度就是原來(lái)氣體各自溫度的加權(quán)平均（這是一種廣義的“相加”）。但這里就有一個(gè)問(wèn)題：溫度這個(gè)量不是完全滿足可加性的，因?yàn)閱蝹€(gè)分子沒(méi)有溫度。

世界上還有一些事物，他們是徹底拒絕可加性的，比如生命世界里的神經(jīng)元。我們可以將容器里的分子分到兩個(gè)容器，使得每個(gè)容器里的氣體仍然保持有宏觀量——溫度、壓強(qiáng)等。但是，我們對(duì)神經(jīng)元不能這樣做。我們每個(gè)人都會(huì)產(chǎn)生幸福、痛苦之類(lèi)的感覺(jué)。生物學(xué)告訴我們，這些感覺(jué)是由神經(jīng)元產(chǎn)生的。但是，我們卻不能說(shuō)，某個(gè)神經(jīng)元會(huì)產(chǎn)生多少幸?；蛲纯?。不僅每個(gè)神經(jīng)元并不具備這種性質(zhì)，而且我們也不能將大腦劈成兩半，使得每個(gè)半球都有幸?；蛘咄纯喔?。神經(jīng)元不是分子——分子可以隨時(shí)分開(kāi)或者重組，神經(jīng)元具有協(xié)調(diào)性，一旦將他們分開(kāi)，生命就會(huì)終結(jié)，不可能再組合。

哥德巴赫猜想

數(shù)學(xué)上，還有另一個(gè)非常有名的“（1 1）”，它就是著名的哥德巴赫猜想。盡管聽(tīng)起來(lái)很神秘，但它的題面并不費(fèi)解，只要具備小學(xué)三年級(jí)的數(shù)學(xué)水平就就能理解其含義。原來(lái)，這是18世紀(jì)時(shí)，德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫偶然發(fā)現(xiàn)，每個(gè)不小于6的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。例如3 3=6；11 13=24。他試圖證明自己的發(fā)現(xiàn)，卻屢戰(zhàn)屢敗。1742年，無(wú)可奈何的哥德巴赫只好求助當(dāng)時(shí)世界上最有權(quán)威的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，提出了自己的猜想。歐拉很快回信說(shuō)，這個(gè)猜想肯定成立，但他無(wú)法證明。

有人立即對(duì)一個(gè)個(gè)大于6的偶數(shù)進(jìn)行了驗(yàn)算，一直算到了330000000，結(jié)果都表明哥德巴赫猜想是對(duì)的，但就是不能證明。于是這道每個(gè)不小于6的偶數(shù)都是兩素?cái)?shù)之和[簡(jiǎn)稱(chēng)（1 1）]的猜想，就被稱(chēng)為“哥德巴赫猜想”，成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可即的“明珠”。

1956年底，已先后寫(xiě)了四十多篇論文的數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)調(diào)到科學(xué)院，開(kāi)始在華羅庚教授指導(dǎo)下專(zhuān)心研究數(shù)論。1966年5月，他像一顆璀璨的明星升上了數(shù)學(xué)的天空，宣布他已經(jīng)證明了（1 2），即“充分大的偶數(shù)都能表示為一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過(guò)二個(gè)素?cái)?shù)的積之和”。

1973年，關(guān)于（1 2）的簡(jiǎn)化證明發(fā)表了，他的論文轟動(dòng)了全世界數(shù)學(xué)界。他的成果被國(guó)際公認(rèn)為“陳景潤(rùn)定理”，也叫“陳氏定理”。

陳景潤(rùn)(1933.5-1996.3)是中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)家。1933年5月22日生于福建省福州市。1953年畢業(yè)于廈門(mén)大學(xué)數(shù)學(xué)系。由于他對(duì)塔里問(wèn)題的一個(gè)結(jié)果作了改進(jìn)，受到華羅庚的重視，被調(diào)到中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所工作，先任實(shí)習(xí)研究員、助理研究員，再越級(jí)提升為研究員，并當(dāng)選為中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部委員。

1996年3月19日13時(shí)10分，因肺炎并發(fā)癥逝世，享年62歲。

皮亞諾公理

皮亞諾公理，也稱(chēng)皮亞諾公設(shè)，是數(shù)學(xué)家皮亞諾(皮阿羅)提出的關(guān)于自然數(shù)的五條公理系統(tǒng)。根據(jù)這五條公理可以建立起一階算術(shù)系統(tǒng)，也稱(chēng)皮亞諾算術(shù)系統(tǒng)。

皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下：

①0是自然數(shù)；

②每一個(gè)確定的自然數(shù)a，都有一個(gè)確定的后繼數(shù)x'，x'也是自然數(shù)（一個(gè)數(shù)的后繼數(shù)就是緊接在這個(gè)數(shù)后面的數(shù)，例如，1的后繼數(shù)是2，2的后繼數(shù)是3等等）；

③如果b、c都是自然數(shù)a的后繼數(shù)，那么b=c；

④0不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)；

⑤設(shè)S是自然數(shù)集的一個(gè)子集，且（1）0屬于S；（2）如果n屬于S，那么n'也屬于S。

(這條公理也叫歸納公理，保證了數(shù)學(xué)歸納法的正確性)

更正式的定義如下：一個(gè)戴德金-皮亞諾結(jié)構(gòu)是這樣的一個(gè)三元組(X,x,f)，其中X是一個(gè)集合，x為X中一個(gè)元素，f是X到自身的映射，且符合以下條件：

x不在f的值域內(nèi)；

f為一個(gè)單射；

若x∈A且"a∈A蘊(yùn)涵f(a)∈A"，則A=X。

該結(jié)構(gòu)所引出的關(guān)于自然數(shù)集合的基本假設(shè):

1.N(自然數(shù)集)不是空集；

2.N到N內(nèi)存在a→a'的一一映射；

3.后繼元素映射的像的集合是N的真子集，事實(shí)上即N{1}(或N{0})；

4.若N的子集P既含有非后繼元素的元素，又有含有子集中每個(gè)元素的后繼元素，則此子集與N相等。

1 1的證明：

∵1 1的后繼數(shù)是1的后繼數(shù)的后繼數(shù)，即3，

∴2的后繼數(shù)是3。

根據(jù)皮亞諾公理③，可得：1 1=2。

偉大公式

2004年10月，一條科學(xué)新聞在國(guó)內(nèi)的媒體上不脛而走。

原來(lái)，英國(guó)著名的科學(xué)雜志《物理世界》此前舉行了一場(chǎng)別開(kāi)生面的評(píng)選活動(dòng)，邀請(qǐng)世界各地的讀者選出自己心目中最偉大、最喜愛(ài)的公式、定理或定律。結(jié)果，讓很多人意外的是，1 1=2這個(gè)連小學(xué)生都知道的基本數(shù)學(xué)公式不僅入選，而且還高居第一。一個(gè)加拿大讀者說(shuō)出了他的理由：“這個(gè)最簡(jiǎn)單的公式有著一種妙不可言的美感。”此次評(píng)選活動(dòng)的主持者則這樣評(píng)價(jià)到：“一個(gè)偉大公式的力量不僅論述了宇宙的基本特性并傳達(dá)了標(biāo)志性的信息，而且還在盡力孕育出更多自然界。

無(wú)獨(dú)有偶，1971年，尼加拉瓜發(fā)行了一套紀(jì)念郵票《改變世界面貌的十個(gè)數(shù)學(xué)公式》，排在第一。

然而正是這個(gè)“1 1=2”。

從無(wú)窮小量和運(yùn)算符號(hào)括號(hào)"（）"來(lái)證明1 1=2.證明如下：

假設(shè)0（這里的0為無(wú)窮小量）0=1，

那么(0 0)(0 0)=1 1,

符合加法運(yùn)算定律(合并同類(lèi)項(xiàng)和結(jié)合律)，

則有1 1=2。

三段式證明如此。